オイラーの公式と受験生ブルース [お暇な方は・・]
「オイラーの公式」なんていうと、
たいがいの人は、「それなあに？」とか、
「ああ聞いた事がある」とか、「学生時代に勉強したことがある」
とかのいずれかではないでしょうか。
私ももちろんその仲間ですが、先週の朝日新聞の教育のコラムに
載っていたので読んでみました。
桜井進さんという方が書いていて、
”計算の世界「i」は縦横無尽” というサブタイトルです。
虚数iを２乗すると-1になることは、確かに勉強した。
しかし、なぜそうなるか今は（前も？）わからない。
虚数i
ixi=-1 と
オイラーの公式
e(ix)=cos(x)+i*sin(x)
e(iπ)=-1 と載っています。
(eの後ろは乗のことです）
その後の説明も難しい。
素人に簡単に説明することはできないだろうし、
数式をいじくりまわさないと説明できないのでしょう。
そこで、これらの公式が気になったので、少し調べてみることにしました。
下の右図のようなsin(サイン、正弦波）波形は、
家庭で使っている電源（１００V）の波形はこれに近い形をしていて、
東日本では５０ヘルツ（１秒間に５０回動きます）になっています。
ReはReal（実数部）で、ImはImaginary(虚数部）になっています。
この１秒間に５０回動くということは、５０回上下に動いているのです。
その５０回のうちの１回の中で、基準になっている時間からθという時間が
過ぎた時間の電圧が図の右側の矢印のところにあたるわけです。
そして９０度（π/2）を過ぎて、１８０度（π）になると左図の円の左端の
－１のところに至り、２７０度を通り、元に戻ることになるのです。
この図で出てくるθと上記のxは同じものです。
この矢印の状態をベクトルといい、e(ix)=cos(x)+i sin(x)になるのです。
e(iπ）=-1 というのは、
θ＝π（180度）の時なので、図のように-1になります。
さて、最後に残った ixi=-1
虚数iを２乗すると-1になるというやつ。
これは大変です・・、説明がつかない。
ということでちょっと調べてみたら、これです。
オイラーの公式
e(ix)=cos(x)+i*sin(x) を微分すると、
i*e(ix)=-sin(x)+i*cos(x) となり、
もう１回微分すると、
i*i*(ix)=-cos(x)-i*sin(x) となり、これは
i*i*(ix)=-1*(cos(x)+i*sin(x)) となり
オイラーの公式で割ると
i*i=-1 が残ります。
ちょっと難しいかなあ、それとも間違っているか？？
私にもよくわかりません・・・。
途中でベクトルとか、微分とかって書いてしまいましたが、
これが何かを説明するとまた長くなるし、やっぱり人に説明するって難しい。
てなことを考えてしまったお休みでした。
そういえば、その昔、「サインコサインなんになる」というフレーズが
出てくる、「受験生ブルース」というのがありました。
高石友也さんの歌です。
その後結成したカントリー調のナターシャセブンも、懐かしい！
当時は、サインコサインはなんになると思っていましたが、
電気の業界ではとても大事なことであることがわかりました。
サインコサインがないと、テレビもないし携帯電話も使えないのです。
オイラーさんには感謝ですね。
≪…虚数iを２乗すると-1になることは、確かに勉強した。
しかし、なぜそうなるか今は（前も？）わからない。…≫は、数学思考するコトと算数するコトの両義性だ。
その謎は、（π＋1） と （eー1） の『眺望』だ。
この原型は、絵本「もろはのつるぎ」（有田川町ウエブライブラリー）・・・
by 言葉の量化と数の言葉の量化 (2021-04-03 04:57)